곤약노트

이미지 변환 (Image Transformation) ⑥Convolution과 Image Filtering

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Fri, 11 Jul 2025 09:00:51 +0900

1. Convolution이란? 이미지 처리의 핵심 연산

Convolution(합성곱)은 두 함수(예: 이미지와 필터)를 합쳐서 새로운 결과를 만들어내는 수학적 연산입니다. 이미지 처리에서는 이를 활용해 이미지에 다양한 효과를 줄 수 있습니다.

Continuous:

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t - \tau)\,d\tau$$

Discrete:

$$(f * g)[n] = \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m] \cdot g[n - m]$$

쉽게 말하면, 이미지에서 일정한 패턴(마스크, 필터)을 기준으로 각 픽셀을 바꿔주는 과정.

2. Convolution의 활용

- 노이즈 제거 (Denoising)

- 흐림 효과 (Blurring)

- 샤프닝 (Sharpening)

- 엠보싱 (Embossing)

-엣지 검출 (Edge Detection)

3. Image Filtering이란?

이미지 필터링(Image Filtering)은 마스크(mask) 또는 커널(kernel)이라고 불리는 작은 행렬을 이미지에 적용(convolve)해서 새로운 이미지를 만들어내는 기법입니다.

핵심 개념: 마스크(mask)

마스크는 작은 행렬 (예: 3x3, 5x5 등)

각 픽셀 주변의 값을 읽고, 가중치를 곱해 새로운 값을 계산

Sharpening [[0, -1, 0], [-1, 5, -1], [0, -1, 0]] 경계 강조, 선명하게

Blurring 1/9 * [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]] 부드럽게 흐림

Edge Detection 여러 종류 있음 경계만 추출

4. Convolution 연산 방법 (with Mask)

1. 마스크를 좌우, 상하로 뒤집기 (flip)

2. 이미지의 각 위치에 마스크를 올림

3. 각 대응되는 원소끼리 곱하고, 다 더함

4. 그 합을 결과 이미지의 해당 위치 픽셀로 지정

중심 기준으로 주변 픽셀을 반영해 새로운 값을 계산하는 것!

*경계 처리: Padding Convolution을 할 때, 이미지 가장자리는 마스크가 겹치기 어렵습니다. 그래서 보통 가장자리를 0으로 채워서 이미지 크기를 유지합니다.

이미지 변환 (Image Transformation) ⑤이미지 향상 (Image Enchantment) 3종 비교

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Tue, 8 Jul 2025 09:00:11 +0900

Gray Level Transformation은 이미지의 픽셀 값을 수학적 함수로 변환해서 밝기를 조절하거나 대비를 높이는 기법입니다.
이미지를 강조(enhancement)하거나 특정 특징을 부각할 때 자주 사용됩니다.

1. Linear (Negative Image)

$ g(x, y) = (L - 1) - f(x, y) $

밝은 부분은 어둡게, 어두운 부분은 밝게 반전 → 음화 이미지(negative image) 생성
흑백 필름 느낌 표현 가능

2. Log Transformation

$ g(x, y) = c \cdot \log(f(x, y) + 1) $

어두운 영역을 강조하고 밝은 영역은 눌러줌
영상에서 작은 세부사항을 살리고 싶을 때 사용

3. Power-Law (Gamma) Transformation

$ g(x, y) = c \cdot f(x, y)^{\gamma} $

감마 보정(gamma correction)이라고도 불림
γ<1: 이미지 밝게
γ>1: 이미지 어둡게

image_gray = cv2.imread('watermelon.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 1. 음화 이미지 (Negative)
negative = 255 - image_gray

# 2. 로그 변환
c = 255 / np.log(1 + np.max(image_gray))
log_transformed = c * np.log(1 + image_gray.astype(np.float32))
log_transformed = np.uint8(np.clip(log_transformed, 0, 255))

# 3. 감마 보정 (γ < 1 밝게, γ > 1 어둡게)
gamma = 0.5  # 예: 밝게
gamma_corrected = 255 * ((image_gray / 255) ** gamma)
gamma_corrected = np.uint8(np.clip(gamma_corrected, 0, 255))

plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.subplot(1, 4, 1)
plt.imshow(image_gray, cmap='gray')
plt.title('Original')
plt.axis('off')

plt.subplot(1, 4, 2)
plt.imshow(negative, cmap='gray')
plt.title('Negative Image')
plt.axis('off')

plt.subplot(1, 4, 3)
plt.imshow(log_transformed, cmap='gray')
plt.title('Log Transform')
plt.axis('off')

plt.subplot(1, 4, 4)
plt.imshow(gamma_corrected, cmap='gray')
plt.title(f'Gamma Correction (γ={gamma})')
plt.axis('off')

plt.tight_layout()
plt.show()

이미지 변환 (Image Transformation) ④Gray Level Resolution (Bit Depth) 완전 이해하기

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Sat, 5 Jul 2025 09:00:15 +0900

디지털 이미지에서 Gray level resolution이란 회색조의 단계 수, 즉 밝기를 얼마나 세밀하게 표현할 수 있는가를 의미합니다. 이 정밀도는 1픽셀당 몇 비트를 사용하는가(bits per pixel, bpp)에 따라 결정됩니다.

$ L = 2^{\text{bpp}} $

bpp: 한 픽셀을 표현하는 데 쓰이는 비트 수
L: 표현 가능한 밝기 단계 수 (gray level)

bbp	표현 가능한 단계 수
1	2단계 (0, 1) = 흑백만
8	256단계 (0~255) = 일반 회색조 이미지
4	16단계 등

*bit depth가 높을수록 더 부드러운 이미지, 낮을수록 정보가 손실된 이미지

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. Grayscale 이미지 불러오기
image = cv2.imread('watermelon.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 2. 서로 다른 bit depth로 양자화 (비트 수 감소)
def quantize(image, bpp):
    levels = 2 ** bpp
    step = 256 // levels
    quantized = (image // step) * step
    return quantized

bpp_values = [1, 2, 4, 8]
quantized_images = [quantize(image, bpp) for bpp in bpp_values]

# 3. 시각화
plt.figure(figsize=(12, 6))
for i, (img, bpp) in enumerate(zip(quantized_images, bpp_values)):
    plt.subplot(1, len(bpp_values), i+1)
    plt.imshow(img, cmap='gray', vmin=0, vmax=255)
    plt.title(f'{bpp}-bit ({2**bpp} levels)')
    plt.axis('off')

plt.suptitle('Gray Level Resolution by Bit Depth')
plt.tight_layout()
plt.show()

이미지 변환 (Image Transformation) ③대비 높이기 – 히스토그램 스트레칭 (Stretching Histogram)

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Wed, 2 Jul 2025 09:00:43 +0900

이미지의 대비(contrast)가 흐릿하게 느껴질 때가 있죠? 사진 전체가 뿌옇거나, 명암이 애매할 때 말이에요. 이런 경우에 히스토그램 스트레칭(histogram stretching)을 통해 이미지의 대비를 높여줄 수 있습니다.

대비(Contrast)란?
대비는 이미지에서 가장 밝은 픽셀과 가장 어두운 픽셀의 차이를 의미

Contrast = 최대 픽셀값−최소 픽셀값
*대비가 크면 선명한 이미지, 대비가 작으면 뿌연 이미지

히스토그램 스트레칭 (Histogram Stretching)

히스토그램 스트레칭은 픽셀 값의 범위를 넓혀서 대비를 강화하는 방법입니다. 밝기는 그대로 두고, 밝은 부분은 더 밝게, 어두운 부분은 더 어둡게 늘려주는 것이 핵심

$$g(x,y) = T(f(x,y)) = \left( \frac{f(x,y) - \min(f)}{\max(f) - \min(f)} \right) \times \lambda$$

f(x,y): 원본 이미지에서 (x, y)의 픽셀 값
min⁡(f): 이미지 전체 픽셀 중 최소/최대 값
λ: 스트레칭 후 확장할 범위 (보통 255) (*λ 값이 클수록 픽셀의 분포가 더 넓게 퍼지고, 대비가 향상)

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 이미지 불러오기 (흑백 모드)
image = cv2.imread('watermelon.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 2. 원본 이미지의 최소값과 최대값 계산
min_val = np.min(image)
max_val = np.max(image)

# 3. 스트레칭 공식 적용 (픽셀 값 범위를 [0, 255]로 선형 변환)
lambda_ = 200
stretched = ((image - min_val) / (max_val - min_val)) * lambda_
stretched = np.clip(stretched, 0, 255).astype(np.uint8)

# 4. 시각화 (원본 vs 스트레칭 결과 vs 히스토그램)
plt.figure(figsize=(12, 5))

# 원본
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.title('Original Grayscale')
plt.axis('off')

# 스트레칭 적용 이미지
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.imshow(stretched, cmap='gray')
plt.title('Contrast Stretched (lambda = 200)')
plt.axis('off')

# 히스토그램
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.hist(stretched.ravel(), bins=256, range=[0, 256], color='gray')
plt.title('Histogram after Stretching')
plt.xlabel('Pixel Intensity (0–255)')
plt.ylabel('Frequency')

plt.tight_layout()
plt.show()

이미지 변환 (Image Transformation) ②밝기 조절하기 – 히스토그램 이동 (Histogram Shifting)

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Sun, 29 Jun 2025 07:00:01 +0900

이미지의 밝기(brightness)를 조절하고 싶을 때 어떻게 해야 할까요? 가장 직관적이고 쉬운 방법 중 하나가 바로 히스토그램 이동(Histogram Shifting)입니다.

앞선 포스팅에서 설명 드린대로 이미지의 히스토그램이란, 각 밝기 값(0~255)이 이미지에 얼마나 자주 등장하는지를 막대 그래프로 표현한 것이에요.

왼쪽: 어두운 픽셀 많음
오른쪽: 밝은 픽셀 많음

픽셀 값을 전체적으로 상수 S만큼 더하거나 빼면, 이미지가 밝아지거나 어두워집니다.

$$ g(x, y) = T(f(x, y)) = \begin{cases} U & \text{if } f(x, y) > U - S \\ f(x, y) + S & \text{otherwise} \\ L & \text{if } f(x, y) \leq L - S \end{cases} $$

f(x,y): 원본 이미지에서의 밝기 값
g(x,y): 밝기 조절된 결과 이미지
S: 밝기 변화 정도 (양수 = 밝게, 음수 = 어둡게)
L=0, : 픽셀 값의 최소, 최대

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cv2

# 이미지 불러오기 및 Grayscale 변환
image = cv2.imread('watermelon.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 밝기 이동: [25, 225] 범위 내 픽셀만 +50
shifted = image.copy().astype(np.int32)
mask = (shifted >= 25) & (shifted <= 225)
shifted[mask] += 50
shifted = np.clip(shifted, 0, 255).astype(np.uint8)

# 이미지 및 히스토그램 시각화
plt.figure(figsize=(12, 5))

# 1. 원본 그레이스케일 이미지
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.title('Original Grayscale')
plt.axis('off')

# 2. 밝기 이동된 이미지
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.imshow(shifted, cmap='gray')
plt.title('Histogram Shifted (+50)')
plt.axis('off')

# 3. 히스토그램
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.hist(shifted.ravel(), bins=256, range=[0, 256], color='gray')
plt.title('Histogram (Shifted)')
plt.xlabel('Pixel Intensity (0–255)')
plt.ylabel('Frequency')

plt.tight_layout()
plt.show()

이미지 변환 (Image Transformation) ①임계값 처리 (Thresholding)로 흑백 이미지 만들기

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Thu, 26 Jun 2025 09:00:17 +0900

디지털 이미지 처리의 가장 기본적인 변환 방법 중 하나는 바로 임계값 처리(Thresholding)입니다. 이 방법은 회색조(grayscale) 이미지를 흑백(black & white) 이미지로 바꿔주는 간단하면서도 매우 유용한 기법입니다.

회색조(grayscale) ▶ Thresholing ▶ 흑백(black & white)

Thresholding이란?

임계값 처리란, 픽셀의 밝기 값이 어떤 기준 값(임계값 p)보다 크면 흰색(1)으로, 작거나 같으면 검은색(0)으로 이진화(Binarization) 시키는 방식입니다.

$$ g(x, y) = T(f(x, y)) = \begin{cases} 1 & \text{if } f(x, y) > p \\ 0 & \text{if } f(x, y) \leq p \end{cases} $$

f(x,y): 원본 이미지에서 (x, y) 위치의 픽셀 밝기
g(x,y): 변환된 출력 이미지
p: 기준이 되는 임계값 (threshold)
수식에 따라 f(x,y)가 p보다 크면 흰색(1), 아니면 검정색(0)

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 이미지 불러오기 (흑백 모드)
image = cv2.imread('watermelon.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 2. 임계값 처리 (Thresholding)
threshold_value = 127
_, binary_image = cv2.threshold(image, threshold_value, 255, cv2.THRESH_BINARY)

# 3. 이미지 및 히스토그램 시각화
plt.figure(figsize=(12, 5))

# 그레이스케일 이미지
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(gray, cmap='gray')
plt.title('Grayscale Image')
plt.axis('off')

# 임계값 처리 이미지
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.title(f"Thresholded (p = {threshold_value})")
plt.imshow(binary_image, cmap='gray')
plt.axis('off')

# 히스토그램
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.hist(binary_image.ravel(), bins=256, range=[0, 256])
plt.title('Histogram')
plt.xlabel('Pixel Intensity (0~255)')
plt.ylabel('Frequency')

plt.tight_layout()
plt.show()

이미지 처리 (Image Processing) #개요

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Mon, 23 Jun 2025 09:00:37 +0900

오늘날 우리가 사용하는 다양한 서비스 ― 얼굴 인식, 자율 주행, 의료 영상 진단, 감시 시스템 ― 모두 이미지 분석(Image Analysis) 기술을 바탕으로 작동합니다. 이미지 분석이란 단순히 사진을 보는 것을 넘어, 사진 속 정보를 이해하고 해석하는 과정입니다.

이 글에서는 이미지 분석이 어떻게 이루어지는지 그 단계별 흐름을 소개하고, 컴퓨터가 실제 이미지를 어떻게 인식하는지를 간단하게 설명한 뒤, 오픈소스 이미지 처리 라이브러리인 OpenCV에 대해서도 다루어 보겠습니다.

1. 이미지 분석 개요 (Image Analysis Levels)

이미지 분석은 크게 4단계로 나눌 수 있습니다:

Level 0: 이미지 표현

실제 세계의 이미지를 컴퓨터가 인식할 수 있도록 처리하는 단계입니다. 이 과정에는 이미지의 획득(acquisition), 샘플링(sampling), 양자화(quantization), 압축(compression) 등이 포함됩니다.

Level 1: 이미지 간 변환

촬영된 이미지 자체를 개선하거나 특정 정보를 추출하기 위한 단계로, 이미지 향상(enhancement), 필터링(filtering), 복원(restoration), 스무딩(smoothing), 세분화(segmentation) 등을 수행합니다.

Level 2: 이미지 → 벡터

이미지에서 의미 있는 정보를 숫자 벡터 형태로 뽑아내는 단계로, 특징 추출(feature extraction)과 차원 축소(dimension reduction)가 이뤄집니다.

Level 3: 특징 → 의사결정

앞에서 얻은 벡터를 바탕으로 컴퓨터가 판단 또는 분류를 수행합니다. 예: 얼굴인지 아닌지, 질병이 있는지 여부 등.

2. 이미지란 무엇인가?

1) 아날로그 이미지 (Analog Image)

- 자연계에 존재하는 빛의 강도 함수 (light intensity function)

- Grayscale (회색조) 이미지: f(x1, x2) → 위치 (x1, x2)에서 밝기를 나타냄

- Color (RGB) 이미지: f(x1, x2, c), c ∈ {R, G, B}

2) 디지털 이미지 (Digital Image)★

- 이미지를 2D 또는 3D 이산배열로 표현한 것

- 즉, 실제 아날로그 이미지를 샘플링하고 양자화 시켜 픽셀로 나눔

디지털 이미지의 기본 요소

1. 픽셀 (Pixel): 이미지의 최소 단위
- 디지털 이미지에서 하나의 샘플 값 (즉, 배열의 원소)
- 하나의 픽셀은 하나의 색상 정보를 담고 있고, 이 수많은 픽셀들이 모여서 하나의 이미지가 됨
- 숫자가 클수록 더 밝음

2. 해상도 (Resolution): 픽셀 수
- 해상도는 이미지에 포함된 픽셀의 총 수
- 해상도가 높을수록 더 정교하고 선명한 이미지

3. 채널 (Channel): 색상의 구성 요소
- 이미지의 색상은 여러 채널의 조합으로 표현
- Grayscale: 1개의 채널 (밝기 정보만 존재)
- RGB: 3개의 채널 (빨강 Red, 초록 Green, 파랑 Blue)
- RGBA: 4개의 채널 (RGB + 투명도 Alpha)

4. 비트 깊이 (Bit Depth): 색상의 정밀도
- 비트 깊이는 한 픽셀이 가질 수 있는 색상의 정밀도를 의미
예시) 8-bit 이미지: 각 채널당 0~255의 값을 가짐
→ RGB 이미지라면 256(R) × 256(G) × 256(B) = 약 1670만 가지 색 표현 가능

5. 컬러 공간 (Color Space): 색을 수학적으로 정의하는 방식 (RGB, BRG, Grayscale, HSV, YCbCr)

3. 이미지의 shape 구조

Python의 NumPy나 OpenCV로 이미지를 다룰 때, 이미지의 구조는 일반적으로 다음과 같은 3차원 배열입니다

(height, width, channel)

예시:

image.shape = (480, 640, 3) → 세로 480픽셀, 가로 640픽셀, 그리고 3개의 채널(RGB)로 구성된 이미지라는 뜻

image.shape = (480, 640) → 채널이 없으므로 그레이스케일 이미지

4. 이미지 히스토그램 (Image Histogram)

히스토그램은 이미지의 gray level (밝기 값) 분포를 나타냅니다.

각 픽셀 x[m, n]에 대해, 특정 밝기 I를 가지는 픽셀의 개수를 카운트

x축: 픽셀 값 (0 - 255, 8 bit grayscale)

y축: 해당 픽셀 값을 가진 픽셀 개수 (frequency)

- 히스토그램은 기본적으로 확률 밀도 함수(pdf)를 근사함

- 이미지의 명암 분포를 시각적으로 보여주며, 밝기 조절 및 대비 조절 등 이미지 향상 작업의 기초가 됨.

4. OpenCV

OpenCV(Open Source Computer Vision)는 컴퓨터 비전 및 이미지 처리를 위한 강력한 오픈소스 라이브러리입니다.

다양한 이미지 필터링, 얼굴 인식, 모션 추적 기능을 지원
Python, C++, Java 등 여러 언어로 사용할 수 있음
머신러닝 및 딥러닝과도 쉽게 연동 가능

OpenCV도 이미지 데이터를 NumPy 배열로 저장하지만 색 채널의 순서가 R-G-B 순서가 아니라, B-G-R 순서로 뒤바뀌어 있다는 점에 주의.

# 예시 코드

import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 이미지 불러오기 (컬러)
image = cv2.imread('watermelon.jpg')  # BGR 포맷으로 불러옴

# 2. BGR -> RGB로 변환 (matplotlib은 RGB 사용)
image_rgb = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_BGR2RGB)

# 3. 그레이스케일 변환
gray = cv2.cvtColor(image, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

# 4. 히스토그램 계산
hist = cv2.calcHist([gray], [0], None, [256], [0, 256])

# 5. 이미지 및 히스토그램 시각화
plt.figure(figsize=(12, 5))

# 원본 이미지
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(image_rgb)
plt.title('Original Image')
plt.axis('off')

# 그레이스케일 이미지
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.imshow(gray, cmap='gray')
plt.title('Grayscale Image')
plt.axis('off')

# 히스토그램
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.hist(gray.ravel(), bins=256, range=[0, 256])
plt.title('Histogram')
plt.xlabel('Pixel Intensity (0~255)')
plt.ylabel('Frequency')

plt.tight_layout()
plt.show()

시뮬레이션 (Simulation) #일반 원칙

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Fri, 20 Jun 2025 09:00:11 +0900

1. 시뮬레이션 연구 11단계

시뮬레이션 프로젝트는 단순한 코딩이 아니라, 문제를 정의하고 가설을 실험해보고 해석까지 이르는 하나의 과학적 절차

문제 정의 (Problem Formulation): 어떤 문제가 있는가? (예: 대기시간이 너무 길다!)
목표 설정 & 계획 (Objectives and Planning): 무엇을 알고 싶은가? (얼마나 많은 직원을 더 뽑아야 하나?)
모델 구축 (Model Building): 수학/로직 기반의 모델 작성 (예: M/M/1 큐)
데이터 수집 (Data Collection): 어떤 데이터를, 얼마나, 어떻게 수집할 것인가
코딩 (Coding): 적절한 언어 선택, 이벤트 처리 방식 선택
검증(Verification): 코드가 제대로 작동하는가?
타당화(Validation): 모델이 현실을 잘 반영하는가?
실험 설계 (Experimental Design): 어떤 실험을 어떻게 설계할 것인가
시뮬레이션 실행 (Run Experiments): 대량 실험 수행
출력 분석 (Output Analysis): 통계 분석, 성능 평가
보고 및 구현 (Make Reports, Implements): 결과 공유, 의사 결정 지원

2. 시뮬레이션 관련 용어

System: 현실에서 분석할 대상 (예: 병원, 공항, 서버 시스템 등)
Model: 시스템을 수학적·논리적으로 추상화한 것
System State: 현재 시스템의 상태를 완전히 설명해주는 변수 집합
Entities: 시스템을 구성하는 주체 (고객, 기계 등)
List (Queu): 주체와 연관된 순서로 배열된 리스트
Events: 시스템 상태를 변화시키는 순간적 시간 (고객 도착, 서비스 완료 등)
Activities: 시간 동안 지속되는 동작 (예: 5분간 서비스)
Conditional Wait: 조건이 충족될 때까지의 대기 시간 (예: 줄 기다리기)

3. Time-Advance Mechanisms (시뮬레이션 시계와 시간 진행)

시뮬레이션은 실제 시간이 아니라 "모의 시간"을 따라 움직임. 항상 앞으로 움직임.

고정 간격 방식 (Fixed-Increment Time Advance)
→ 매 시간단위(h)마다 상태 갱신
다음 이벤트 방식 (Next-Event Time Advance)★
→ 가장 가까운 이벤트 시간으로 시계 이동 (우리가 주로 사용하는 방식!)

FEL (Future Events List)
: 앞으로 발생할 이벤트들을 시간순으로 정렬한 목록. 시뮬레이션의 심장부.

3. Two Modeling Approaches

① Event Scheduling (이벤트 중심 방식)

각 이벤트를 시간순으로 추적하며 시스템 상태 갱신
직접 FEL 관리 필요 (코딩 복잡)
Initialization Routine - Invoke Timing Routine - Invoke Event Routine - Go back to 1

② Process Interaction (프로세스 중심 방식)

각 "엔터티(예: 고객)"가 스스로 이벤트 흐름을 갖고 움직임
ARENA 등 대부분의 상용 시뮬레이션 도구가 채택
FEL은 자동 관리됨 → 초보자에게 추천
Create - Process - Dispose

시뮬레이션 (Simulation) 관련 중요한 수학 개념 복습

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Tue, 17 Jun 2025 09:00:42 +0900

1. Random Varibale (확률변수)

확률 변수는 확률 공간 (Ω,F,P)에서 정의된, 실수값을 갖는 함수

확률 변수는 “무작위적인 사건의 결과를 숫자값으로 매핑(mapping)”하는 **함수(Function)**입니다.
무작위성(randomness)은 표본공간 Ω에 존재하고, 우리는 이를 숫자로 바꾸어 통계적으로 다루기 쉽게 만듭니다.

적용 대상	이산형 확률 변수 (Discrete)	연속형 확률 변수 (Continuous)	둘다 (공통)
수식 표현	P(X=x)	fX(x)	FX(x)=P(X≤x)
의미	특정 값이 나올 직접적인 확률	특정 값 부근에 있을 밀도 (확률 아님)	특정 값 이하가 나올 누적 확률
확률 계산	직접 사용 가능	P(a≤X≤b)=∫abfX(x) dx	FX(b)−FX(a)
그래프 형태	막대그래프 (점만 존재)	곡선 (면적이 확률)	증가 곡선 또는 계단 함수
	pmf	pdf	cdf
최댓값	≤1	제한 없음 (밀도이므로)	항상 ≤1

2. LOTUS (Law of the Unconscious Statistician, 무의식적인 통계학자의 법칙)★

- 확률변수 RV X를 알고, X의 확률 분포 f(x)를 알 때, 확률변수 X의 변형 함수 g(x)의 분포를 몰라도 expected value 구할 때 사용

이산형:

$$ \mathbb{E}[g(X)] = \sum_x g(x) \cdot P(X = x) $$

연속형:

$$ \mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x)\, dx $$

3. Moment Generating Function (mgf, 모멘트 생성 함수)

- 확률 변수의 모멘트(moment)를 생성해 주는 함수

- 즉, ( )를 t에 대해 미분하고 =0을 대입하면, 기댓값, 분산 등 고차 모멘트를 얻을 수 있음

1차 미분 → $ \mathbb{E}[X] = M_X'(0) $

2차 미분 → $ \mathbb{E}[X^2] = M_X''(0) $

분산 공식 → $ \mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 $

4. Jointly Distributed Random Variables (공동 분포 확률 변수)
& (Marginal Distribution (주변분포)

- 두 개 이상의 확률 변수가 동시에 발생하며, 이들 간의 결합적인 확률 구조를 고려

▶ 이산형 (Discrete)

1. 공동 확률 질량 함수 (Joint PMF)

\[ P(X = x, Y = y) = P_{X,Y}(x, y) \]

특정한 $ x $ 와 $ y $ 가 동시에 일어날 확률을 나타냄
모든 가능한 조합에 대해 전체 확률의 합은 반드시 1이어야 함

\[ \sum_x \sum_y P_{X,Y}(x, y) = 1 \]

2. 주변 확률 질량 함수 (Marginal PMF)

\[ P_X(x) = \sum_y P(X = x, Y = y) \]

\[ P_Y(y) = \sum_x P(X = x, Y = y) \]

▶ 연속형 (Continuous)

1. 공동 확률 밀도 함수 (Joint PDF)

\[ f_{X,Y}(x, y) \]

특정한 점 $ (x, y) $ 주변에서의 밀도를 나타냄
실제 확률을 구하려면 이중 적분을 수행해야 함

\[ P((X, Y) \in A) = \iint_A f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy \]

\[ \iint_{\mathbb{R}^2} f_{X,Y}(x, y) \, dx \, dy = 1 \]

2. 주변 확률 밀도 함수 (Marginal PDF)

\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dy \]

\[ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dx \]

5. Conditional Expectation (조건부 기대값)

▶ 이산형 (Discrete Case)

조건부 확률을 기반으로 $ Y $의 평균을 계산:

\[ \mathbb{E}[Y \mid X = x] = \sum_y y \cdot P(Y = y \mid X = x) \]

▶ 연속형 (Continuous Case)

조건부 밀도 함수를 사용하여 $ Y $의 기대값:

\[ \mathbb{E}[Y \mid X = x] = \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f_{Y \mid X}(y \mid x) \, dy \]

* 조건부 확률 밀도 함수의 정의

조건부 확률 밀도 함수는 다음과 같이 정의 (단, $ f_X(x) > 0 $):

\[ f_{Y \mid X}(y \mid x) = \frac{f_{X,Y}(x, y)}{f_X(x)} \]

▶ 전체 기대값의 법칙 (Law of Total Expectation)

\[ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E} \left[ \mathbb{E}[Y \mid X] \right] \]

→ 조건부 기대값의 평균은 전체 기대값과 같음!

▶ 전체 분산의 법칙 (Law of Total Variance)

\[ \operatorname{Var}(Y) = \mathbb{E}[\operatorname{Var}(Y \mid X)] + \operatorname{Var}(\mathbb{E}[Y \mid X]) \]

6. Covariance

\[ \operatorname{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X]) (Y - \mathbb{E}[Y])] = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y] \]

\[ \operatorname{Cov}(X, Y) > 0 \quad \text{: 두 변수는 같은 방향으로 움직임 (양의 상관)} \] \[ \operatorname{Cov}(X, Y) < 0 \quad \text{: 두 변수는 반대 방향으로 움직임 (음의 상관)} \]

7. Correlation

\[ \rho_{X,Y} = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)} \cdot \sqrt{\operatorname{Var}(Y)}} \]

→ 공분산을 두 변수의 표준편차로 나눈 정규화 지표, 값은 항상 $-1 \leq \rho \leq 1$

\[ \rho = 1 \quad \text{: 완벽한 양의 상관} \] \[ \rho = -1 \quad \text{: 완벽한 음의 상관} \] \[ \rho = 0 \quad \text{: 선형 상관 없음 (비선형 관계는 있을 수 있음)} \]

8. Central Limit Theorem (CLT, 중심극한정리)★

- 데이터의 원래 분포가 어떤 모양이든 관계없이, 표본 평균은 충분히 큰 표본 수(n)에 대해 정규분포에 수렴

- 확률 변수 X1,X2,…,XnX1, X2,,,,, X_n이:

서로 독립이고
동일한 분포를 따르며 (i.i.d.)
평균 μ, 분산 σ2을 가질 때,

\[ \bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]

\[ \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, 1) \]

→ n→∞일 때, 표준 정규분포 N(0,1)에 수렴

시뮬레이션 (Simulation) 개요 #3 Analyzing Randomness in Simulations

곤약처럼 부드럽게, 쫀쫀하게 — Sat, 14 Jun 2025 09:00:54 +0900

1. 시뮬레이션 결과에서의 랜덤성 분석

시뮬레이션 결과는 복잡한 랜덤성과 비정상성 때문에 전통적인 통계 분석이 어려움.
시뮬레이션 데이터는 보통:
- Not Normally Distributed: 대기 시간이나 처리 시간 같은 데이터는 정규분포를 따르지 않음.
- Not Identically Distributed (Non-i.i.d): 하루 시간대에 따라 패턴이 다름.
- Not Independent: 한 고객의 대기 시간이 길면 뒤따르는 고객의 대기 시간도 길어짐.

2. 시뮬레이션의 두 가지 유형

Terminating Simulations	특정 이벤트나 시간에 종료되며 단기적인 행동 분석에 집중함.	하루 동안의 은행 고객 평균 대기 시간, 마케팅 캠페인의 단기 효과 분석
Steady-State Simulations	무한정 실행되며 장기적인 안정화 상태 분석에 집중함. 초기 바이어스 제거 후 안정적 데이터 수집.	생산 공장의 조립 라인, 교통 네트워크의 장기적 성능 평가

3. Terminating Simulations 분석 - Independent Replications

독립적인 여러 시뮬레이션 실행을 통해 통계적 분석을 수행하는 방법.

독립적인 복제 실행
- 동일한 조건에서 여러 번 시뮬레이션을 실행.
- 복제마다 서로 간섭 없이 독립적이어야 함.
각 복제에서 표본 평균 계산
- 예를 들어, 각 실행마다 평균 대기 시간을 계산.
i.i.d. Normal Distribution 가정
- 중심 극한 정리에 의해 충분히 많은 복제가 있을 경우, 표본 평균은 정규분포에 근사.
- 이는 원시 데이터가 정규분포를 따르지 않아도 표본 평균은 정규분포에 근접함.
전통적인 통계 기법 적용
- 표본 평균에 대해 신뢰 구간 계산, 가설 검정 등을 수행.

4. Steady-State Simulations 분석 - Method of Batch Means

무한정 실행되는 시뮬레이션에서 **안정화된 상태(steady-state)**를 분석하는 기법.

하나의 긴 시뮬레이션 실행
- 여러 번 반복하지 않고, 한 번의 긴 실행을 통해 충분한 데이터를 확보.
Warm-up 기간 설정
- 초기 상태의 바이어스(Initialization Bias)를 제거하기 위해 초기 데이터를 제외함.
- 예를 들어, 첫 1000개의 데이터는 무시하고 그 이후부터 수집.
남은 데이터의 Batch 처리
- warm-up 이후의 데이터를 동일한 크기의 Batch로 나눔.
- 예를 들어, 9000개의 데이터를 10개의 Batch로 나누면 각 Batch는 900개씩.
각 Batch의 표본 평균 계산
- 각 Batch의 평균을 구하여 성능 측정을 위한 지표로 사용.
i.i.d. Normal Distribution 가정
- 충분히 많은 Batch가 있다면, Batch의 평균도 정규분포에 근접함.
전통적인 통계 기법 적용
- 신뢰 구간, 가설 검정 등을 Batch 평균에 적용하여 분석.

5. Terminating vs Steady-State 비교

목적	단기적인 이벤트 분석	장기적인 안정화 상태 분석
실행 시간	제한된 시간 또는 특정 이벤트에 종료	무한정 실행되거나 충분히 긴 시간 동안 실행
Warm-up 필요성	없음 (즉시 데이터 수집)	필요함 (초기 바이어스 제거 후 수집)
분석 방법	Independent Replications	Method of Batch Means
예시	하루 동안의 병원 환자 대기 시간, 이벤트 기간 동안의 매출 분석	공장 조립 라인의 안정화 상태, 통신 네트워크의 장기 성능 분석

6. 주요 분석 지표

Confidence Interval (신뢰구간)	시뮬레이션 결과의 신뢰 수준을 나타내는 구간.
Hypothesis Testing (가설검정)	시뮬레이션 결과가 특정 가설을 만족하는지 평가.
Standard Error (표준 오차)	시뮬레이션 평균의 오차 수준 측정.
Batch Mean Analysis	Batch별 평균 분석을 통한 안정화 상태 추정.

Sharpening	[[0, -1, 0], [-1, 5, -1], [0, -1, 0]]	경계 강조, 선명하게
Blurring	1/9 * [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]	부드럽게 흐림
Edge Detection	여러 종류 있음	경계만 추출