#2 함수형 데이터 분석 (Functional Data Analysis, FDA) - B-Splines (비스플라인)

지난 포스팅에서..

▶ 함수형 데이터 분석 (Functional Data Analysis, FDA)을 위해 Spline Regression (스플라인 회귀 사용)
▶ 그러나 Truncated Power Basis는 다음과 같은 문제를 가지고 있었음
- Numerical Instability (수치적 불안정성): 열끼리 상관관계가 높아 역행렬이 불안정함, 계산 중 오차가 커짐
- Redundant Representation (불필요한 중복 표현): 구간이 많아질수록 기저 함수의 개수도 비례해서 많아짐


▶ 해결 방법: B-Spline

1. B-Spline이란?

• B-스플라인(B-Spline):
  • 기존의 **스플라인(Spline)**이 계산적으로 불안정했던 문제를 해결한 개선된 기법
  • 특히, Truncated Power Basis에서는 다항식들이 서로 강하게 상관관계가 있어 행렬의 역행렬 계산 시 불안정성이 발생
  • 예를 들어, HTH^T H의 행렬식(determinant)이 0에 가까워지면 역행렬을 구할 수 없음
• 해결 방법:
  • B-스플라인은 각 구간(Interval)에서만 활성화되는 지역적(Local) 특성을 가짐
  • 특정 구간을 벗어나면 0이 되어 계산이 단순해지고 불안정성이 감소

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2. B-Spline 생성 과정

1) 노드(Knots) 설정:

• 기본적으로 T개의 노드를 설정 -> 확장 노드(Augmented Knots) 생성

 

2) B-Spline Basis Functions 정의:

3) Smoother Matrix (H):

• B-스플라인으로 생성된 예측 값은 H 매트릭스에 의해 결정됨
• 예측 값은 다음과 같이 계산됨

$$ \hat{y} = H y $$ 여기서 $$ H = B(B^T B)^{-1} B^T $$ H는 대칭(Symmetric)이고 멱등(Idempotent)이다.

 

4) 자유도 (Degrees of Freedom): B-Spline의 자유도는 Smoother Matrix (H)의 Trace(대각 원소의 합)로 계산됨

 

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Reference

Hastie, T., Tibshirani, R., and Friedman, J., (2009) The Elements of Statistical Learning. Springer Series in Statistics Springer New York Inc., New York, NY, USA.